Circuits binaires

Un système binaire est un système qui utilise uniquement deux symboles 0 et 1
Dans un circuit, on utilise deux niveaux de voltage pour représenter les symboles

1 = Haut (p.ex : +5V)
0 = Bas (p.ex : +0V ou -5V)

Un codage binaire est une suite de bits (ex. 10001001)
Toutes les informations sont représentées par des codages binaires

Fonctions booléennes

Une fonction booléenne est une fonction de $$\{0, 1\}^n\rightarrow \{0, 1\}$$

$n$ variables → $2^n$ entrées possibles
on peut décrire la fonction par sa table de transition

Ex : $$f: \left\{\begin{align}\{0, 1\}^3 &\rightarrow \{0, 1\}\\ x, y, z &\mapsto x(y + z) \mod 2 \end{align}\right.$$

$x$	$y$	$z$	$f(x, y, z)$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Portes logiques

Porte NON :

$x$	$\neg x$
0	1
1	0

Porte ET :

$x$	$y$	$x\wedge y$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Porte OU :

$x$	$y$	$x\vee y$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Porte XOR (ou exclusif) :

$x$	$y$	$x\oplus y$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

On construit les fonctions logiques à partir de portes logiques élémentaires

Portes logiques élémentaires réalisées par des circuits électroniques
Ici, on ne s’occupe pas de la réalisation électronique des portes

Les portes logiques élémentaires sont :

Exemples

On peut utiliser des portes NON pour réaliser le complément à un d'un nombre

On peut enchaîner les portes ET, OU et XOR

Équivalence

Prop.

Toute fonction booléenne peut être exprimée par une formule utilisant les opérateurs NON, ET et OU

Rmq : La réciproque est évidente

Forme normale disjonctive →

Forme normale conjonctive →

$x$	$y$	$z$	$f(x, y, z)$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

$x$	$y$	$z$	$f(x, y, z)$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

$x$	$y$	$z$	$f(x, y, z)$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

$$\begin{align}f(x, y, z) = &(\neg x\wedge \neg y\wedge z)\\ &\vee (\neg x\wedge y\wedge \neg z)\\ &\vee (x\wedge y\wedge \neg z) \end{align}$$

$$\begin{align}f(x, y, z) = &(x\vee y\vee z)\\ &\wedge (x\vee \neg y\vee \neg z)\\ &\wedge (\neg x\vee y\vee z)\\ &\wedge (\neg x\vee y\vee \neg z)\\ &\wedge (\neg x\vee \neg y\vee \neg z)\\ \end{align}$$

Circuits

Pour réaliser les fonctionnalités d’un ordinateur (en particulier l'unité centrale), on a besoin de nombreux circuits :

manipuler les nombres binaires
coder, décoder des valeurs
séléctionner les opérandes
mémoire
etc.

Additionneur

On va décrire un circuit qui réalise l'addition binaire sur $n$ bits

Entrée : $2n$ bits (chiffres des deux opérandes)
Sortie : $n$ bits (chiffres du résultat)

Half-Adder

On travaille chiffre par chiffre

$0 + 0 = 0$
$0 + 1 = 1$
$1 + 0 = 1$
$1 + 1 = 0$ (avec une retenue)

Entrées :

2 chiffres : $x$ et $y$

Sorties :

résultat : $x + y = x \oplus y$
retenue : $c_{out} = x \wedge y$

$x$	$y$	$x+y$	$c_{out}$
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Full-Adder

On ajoute une retenue entrante ($c_{in}$)

Entrées :

2 chiffres : $x$ et $y$
retenue : $c_{in}$

Sorties :

résultat : $x + y + c_{in} = x \oplus y \oplus c_{in}$
retenue : $c_{out} = (x + y + c_{in} \geq 2)$

$x$	$y$	$c_{in}$	$s$	$c_{out}$
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Soustracteur

On peut faire la même chose pour la soustraction :

circuit pour soustraction de deux chiffres (HS)
circuit pour soustraction de deux chiffres avec une retenue (FS)
chaîne de $n$ FS pour soustraction à $n$ bits

Ou bien, si en complément à 2 (mod $2^n$) :$$\begin{align} x - y &= x + (2^n - y) \\ &= x + (2^n-1 - y) + 1 \\ &= x + \neg y + 1 \end{align}$$

→ On peut réutiliser le circuit de l'additionneur

Stockage

On peut utiliser des circuits pour stocker des données

Très rapide d'accès
Volatile (information disparaît si le courant est coupé)

Rmq : Pour stocker de manière non volatile, on peut utiliser des supports de stockage (magnétique, optique, etc.)

Exemple : Bascule RS (RS latch)

S	R	Q'	Action
0	0	Q	Conserver
1	0	1	Set
0	1	0	Reset
1	1	❌	Non autorisé

Interprétation

Attention : La mémoire ne contient que des suites de bits

La même suite de bits peut être iterprétée de différentes façons
Exemple :
- 4 octets : 01000110 01000010 01010000 00000000
- Entier (int)$$2^{12} + 2^{14} + 2^{17} + 2^{22} + 2^{25} + 2^{26} + 2^{30} = 1178750976$$
- IEEE 754 Simple précision (float)$$\simeq 1,5.2^{-57} \simeq 1,172.10^{-18}$$

Transmission

On veut échanger des données d'un circuit à un autre

suite de bits à transmettre
deux modes de transmission :
- série
- parallèle

Série

Transmission séquentielle des bits
Un seul fil + horloge
Pour $n$ bits, il faut $n$ ticks

Parallèle

$m$ fils + horloge
Tansmission de $m$ bits en parallèle
Pour $n$ bits il faut $\lceil \frac n m \rceil$ ticks

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\(f(x, y, z)\)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\(f(x, y, z)\)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\(f(x, y, z)\)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\(f(x, y, z)\)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

\(x\)	\(y\)	\(x+y\)	\(c_{out}\)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Cours n°5 :
Circuits et logique booléenne

Circuits binaires

Fonctions booléennes

Portes logiques

Exemples

Équivalence

Circuits

Additionneur

Half-Adder

Full-Adder

Additionneur

Soustracteur

Multiplieur

Stockage

Interprétation

Transmission

\(x\)	\(\neg x\)
0	1
1	0

\(x\)	\(y\)	\(x\wedge y\)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

\(x\)	\(y\)	\(x\vee y\)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

\(x\)	\(y\)	\(x\oplus y\)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Cours n°5 :Circuits et logique booléenne

Circuits binaires

Fonctions booléennes

Portes logiques

Exemples

Équivalence

Circuits

Additionneur

Half-Adder

Full-Adder

Additionneur

Soustracteur

Multiplieur

Stockage

Interprétation

Transmission

Cours n°5 :
Circuits et logique booléenne